Question

Найдите количество целых чисел - решений неравенства log в степени 2 и основанию 2 x+6 меньше 5 log2 x 2 вычислите log3 21*log7 3 - log6 3*log7 6

Answer 1

$log^2_{2}x+6 \ \textless \ 5log_{2}x \\$
Пусть $log_{2}x = t$
Тогда:
t² + 6 < 5t
t² - 5t + 6 < 0
D = 25 - 24 = 1²
t₁ = 3 t₂ = 2
Так как по условию выражение меньше 0, то берём внутренний промежуток:
$t \ \textgreater \ 2 \\ t \ \textless \ 3 \\$
Вернёмся к замене:
$log_{2}x \ \textgreater \ 2 \\ log_{2}x \ \textless \ 3 \\ \\ x \ \textgreater \ 4\\ x \ \textless \ 8$
Получаем решения: 5, 6, 7
Итого 3 решения
ответ: 3

$2. log_{3}21*log_{7}3 - log_{6}3*log_{7}6$
По свойству логарифмов приводим их к нужному нам основанию:
$log_{3}21* \frac{1}{log_{3}7 } - log_{6}3* \frac{1}{ log_{6}7} = \frac{log_{3}21}{log_{3}7} - \frac{log_{6}3}{log_{6}7}$

Используя обратное свойство логарифмов, получаем:
$\frac{log_{3}21}{log_{3}7} - \frac{log_{6}3}{log_{6}7} = log_{7}21-log_{7}3=log_{7} \frac{21}{3} =log_77=1$

ответ: 1