1. доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых чисел не является квадратом целого числа. 2. доказать, что если р - простое число, большее или равное пяти, то остаток от деления р в квадрате на 12 равен 1.
1) Т.к. остатки от деления квадратов пяти последовательных чисел на 4 имеют вид 0,1,0,1,0 или 1,0,1,0,1, то сумма этих квадратов имеет остаток 2 или 3, т.е. быть квадратом не может, т.к. квадрат при делении на 4 дает остатки только 0 или 1. 2) Т.к. квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1, то p²-1 делится на 4. Т.к. квадрат нечетного числа не кратного трем (а наше р не кратно 3) дает остаток 1, то p²-1 делится на 3. Значит, p²-1 делится на 12.
Пусть второй кран опорожнит полную ванну pf Х мин.
А Р (1/мин) t (мин)
2 кран 1 - 1/X Х
1 кран 1 1/(X+2) X +2
1 + 2 -1 1/(X+2) - 1/X 60 вместе
Последняя строка таблицы говорит о том что ванна полностью опорожнилась за 60 минут, т.е. 1/(х+2)-1/х*60 = -1 (х-х-2)/((х(х+2))*60 = -1 -2/(х*(х+2))=-1/60 Х*(х+2) = 120 х^2+2х-120 = 0 В = 4-4*(-120) = 484(22) х1 = (-2+22)/2 = 10 х2<0
ОТВЕТ: второй кран опорожнит полную ванну за 10 минут.
Пусть второй рабочий в час делает х деталей, тогда первый рабочий в час делает х+3 детали Первый рабочий затрачивает на производство 112 деталей: 112/(х+3) часов, тогда второй рабочий на производство 150 деталей затрачивает 150/х часов Составим уравнение: 150/х-112/(х+3)=2 150/х-112/(х+3)-2=0 Общий знаменатель х(х+3), тогда (150(х+3)-112х-2*х(х+3))/x(x+3)=0 ОДЗ х не равно 0 ; -3
Раскроим скобки и решим уравнение: 150х+450 -112х-2х²-6х=0 32х-2х²+450=0 (умножим на -1) 2х²-32х-450=0 (сократим на 2) х²-16х-225=0 Найдем дискриминант: D=b²-4ac=(-16)²-4*1*(-225)=256+900=1156 х1=(-b+√D)/2*a=(-(-16)+√1156)/2*1=(16+34)/2=25 х2=(-b-√D)/2*a=(-(-16)-√1156)/2*1=(16-34)/2= - 9 < 0 - не подходит ответ: Второй рабочий в час изготовляет 25 деталей.
2) Т.к. квадрат нечетного числа при делении на 4 дает остаток 1, то p²-1 делится на 4. Т.к. квадрат нечетного числа не кратного трем (а наше р не кратно 3) дает остаток 1, то p²-1 делится на 3. Значит, p²-1 делится на 12.