Question

С7. а) пример такого натурального числа n , что числа n2 и (n+16)2 одинаковый остаток при делении на 200; б) сколько существует трехзначных чисел n с указанным в пункте а) свойством?

Answer 1

А) Числа имеют одинаковый остаток при делении на 200, только если их разность делится на 200. Т.е. (n+16)²-n²=32(n+8) должно делиться на 200. Это равносильно тому, что n+8 делится на 25, т.к. НОД(32,200)=8 и 200/8=25. Значит, условию удовлетворяют все n вида n=25k-8, например, при k=1 получим  n=17.
б) Все трехзначные числа такого вида получаются при k=5,...,40, т.е. их всего 40-4=36 штук.