Бак наполняется двумя кранами одновременно за 3 часа.за какое время каждый кран в отлельности может наполнить бае,если известно,что первый кран может наполнить бак на 8 часов медленне чем второй?
Т.к. sin(x) - непрерывная функция, она интегрируема, и можно выбирать любое разбиение с любыми точками на нем. Разобьем [a,b] на n равных частей и возьмем значения функции в левых точках получившихся отрезков: ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n, где k = 0 .. n-1
Здесь были применены формулы cos(x+y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) cos(x-y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y) Тогда sin(x)sin(y) = 1/2 (cos(x-y) - cos(x+y)) Где x = a + k*(b-a)/n, y = (b-a)/2n
y было выбрано так, чтобы все косинусы, кроме крайних, попадали в сумму с разными знаками и сокращались.
Исходная сумма ∑ sin(a + k*(b-a)/n) * (b-a)/n преобразуется к виду (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) * ∑ [cos(a + (k-1/2)*(b-a)/n) - cos(a + (k+1/2)*(b-a)/n)], k = 0 .. n-1
Т.к. cos(a + (k + 1/2) * (b-a)/n) = cos(a + ((k+1)-1/2) * (b-a)/n), соответствующие слагаемые в сумме сокращаются, как и рассчитывалось. Т.е.
При n ⇒ ∞, это выражение стремится к cos(a) - cos(b)
Что касается коэффициента (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) перед суммой, при n ⇒ ∞ синус стремится к своему аргументу, т.е. (b-a)/n * 1/(2sin( (b-a)/2n )) ⇒ (b-a)/n * 1/(2 * (b-a)/2n)) = 1
Т.е. сумма стремится cos(a) - cos(b) при n ⇒ ∞, причем этот предел по определению и является искомым определенным интегралом (диаметр разбиения (b-a)/n стремится к 0)
Пусть второй кран может наполнить бак за х часов,
тогда первый кран - за (х + 8) часов.
1/х - производительность второго крана;
1/(х + 8) - производительность первого крана;
1/3 - совместная производительность кранов.
1/х + 1/(х + 8) = 1/3
3(х + 8) + 3х = х(х + 8)
3х + 24 + 3х = х² + 8х
х² + 8х - 6х - 24 = 0
х² + 2х - 24 = 0
D = 2² - 4 · (- 24) = 4 + 96 = 100 = 10²
х₁ = (- 2 + 10)/2 = 4 (ч) - время наполнения бака вторым краном.
х₂ = (- 2 - 10)/2 = - 6 (ч) - не подходит.
4 + 8 = 12 (ч) - время наполнения бака первым краном.
ответ: первый кран может наполнит бак за 12 часов,
второй кран - за 4 часа.