Question

При каких значениях параметра а неравенство верно для любого х: ? в ответ укажите самое маленькое целое число, принадлежащее множеству решений. если ответом будет −∞, то укажите -1. или я что-то не понимаю, или у меня почему-то не сходится

Answer 1

ОДЗ
$4x^2+10x+7 \neq 0\\D\ \textless \ 0$
парабола ветви вверх, нулей нет, значит выше оси ОХ, поэтому знаменатель строго больше нуля при всех икс
Поэтому умножим обе части неравенства на знаменатель (знак соотвественно не меняется)
$8x^2-20x+16 \leq a(4x^2+10x+7)\\4x^2(2-a)-10x(2+a)+(16-7a) \leq 0$
рассмотрим а=2. В этом случаем имеем линейное уравнение
$4x^2(2-2)-10x(2+2)+(16-7\cdot 2) \leq 0\\-40x+2 \leq 0\\x \geq \frac{1}{20}$
т.е. неравентсво верно не при всех икс при этом значении а, поэтому не подходит

рассмотрим а<2,имеем квадратное уравнение, вветви вверх (т.к. коэффициент при икс в квадрате положителен)
неравенство будет верно только в одной точке, где парабола обращается в нуль, т.е. этот вариант тоже не подходит

рассмотрим а>2, парабола вветви вверх, чтобы выполнялось неравенство при всех икс, нужно чтобы дискриминант был неположительный
$D=100(2+a)^2-4\cdot4(2-a)(16-7a)=-12a^2+880a-112\\\\-12a^2+880a-112 \leq 0$
$a_{1,2}= \dfrac{-880\pm32 \sqrt{751} }{-24} \\\\a\in(-\infty,a_1)\cup(a_2,+\infty)$
т.к. мы расматриваем а>2, то $a\ \textgreater \ \dfrac{-880\pm32 \sqrt{751} }{-24} \approx 73,2$
самое маленькое целое 74