Question

Полное исследование функции и построение графика y=x^3-3x^2+2

Answer 1

Исследуем заданную функцию $f(x)=x^3-3x^2+2$
 1. Область определения функции:
$D(f)=(-\infty;+\infty)$ - множество всех действительных чисел.
2. Четность функции
Функция $f:x\rightarrow R$ называется четной, если выполняется равенство: $f(-x)=f(x)$, а нечетной - $f(-x)=-f(x)$
$f(-x)=(-x)^3-3(-x)^2+2=-x^3-3x^2+2=-(x^3+3x^2-2)$
Видим, что $f(-x)\ne f(x)$ и $f(-x)\ne -f(x)$, значит функци ни чётная ни нечётная.

3. Точки пересечения с осью Оу и Ох
 3.1. С осью Ох (f(x)=0), тоесть
$x^3-3x^2+2=0$
Добавим и вычтем одинаковые слагаемые
$x^3-x^2-2x^2+2x-2x+2=0\\ x^2(x-1)-2x(x-1)-2(x-1)=0\\ (x-1)(x^2-2x-2)=0\\ x_1=1\\ D=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-2)=12\\ x_2_,_3=1\pm \sqrt{3}$
$(1;0),(1-\sqrt{3} ;0),(1+\sqrt{3} ;0)$ - точки пересечения с осью Ох
 3.2. С осью Оу (х=0)
Если х=0, то f(x)=2
(0;2) - точки пересечения с осью Оу

4. Критические точки, возрастание и убывание функции. Локальный максимум и локальный минимум.
 4.1. Найдем производную функции
$f'(x)=(x^3-3x^2+2)'=(x^3)'-(3x^2)'+(2)'=3x^2-6x$
 Приравниваем производную функции к нулю
$3x^2-6x=0\,\,\,\Rightarrow\,\,3x(x-2)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,x_1=0\,\,\,and\,\,\, x_2=2$

________+_______________(0)____-________(2)____+______
Функция возрастает на промежутке $(-\infty;0)$ и $(2;+\infty)$, а убывает на промежутке - $(0;2)$. В точке $x=0$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x=2$ - локальный минимум.
$(0;2)$ - относительный максимум.  $(2;-2)$ - относительный минимум

5. Точка перегиба.
 5.1. Вторая производная функции
$f''(x)=(3x^2-6x)'=(3x^2)'-(6x)'=6x-6$
Приравниваем ее к нулю
      $6x-6=0\,\,\,\Rightarrow\,\, 6(x-1)=0\,\,\,\Rightarrow\,\,x=1$
(1;0) - точка перегиба.

Горизонтальных, наклонных и вертикальных асимптот нет.