2 га = 20000 м²
Максимальную площадь при заданном периметре будет иметь квадрат. Следовательно, при заданной площади минимальный периметр также будет у квадрата.
Сторона такого квадрата: а = √20000 = 100√2 ≈ 141,42 (м)
Периметр, соответственно:
Р = 4а = 4*100√2 = 400√2 ≈ 565,68 (м)
Постараемся в этом убедиться:
Площадь участка: ab = 20 000 => b = 20 000/a,
где a и b - стороны участка.
Периметр участка:
Р = 2(a + b) = 2(a + (20000/a)) = 2a + 40000/a
Исследуем функцию производной
P'(a) = 2 – (40000/a²)
P'(a) = (2a² – 40000)/a²
P'(a) = 0
2a² – 40000 = 0
a² = 20000
a = √20 000 = 100√2 (м)
b = 20 000/100√2 = 200/√2 = 200√2/2 = 100√2 (м)
Таким образом, искомый прямоугольник с минимальным периметром при заданной площади, действительно является квадратом со стороной а = b = 100√2 (м).
PS. Если требуется найти точное значение длин сторон, то, максимально приближенный к квадрату прямоугольник с площадью 20000 м² будет иметь стороны 125 м и 160 м.
Периметр такого прямоугольника: Р = 2*285 = 570 (м)
Площадь: S = 125*160 = 20000 (м²)
