Question

Решите уравнение. 3cos^2x+cosx-4=0 на промежутке [ 0; п ] .

Answer 1

$3 {(cosx)}^{2} + cosx - 4 = 0 \\$

Данное уравнение сводится к квадратному уравнению, поэтому сделаем замену:
Пусть cosx = t , но | t | ≤ 1

$3 {t}^{2} + t - 4 = 0 \\$

D = b² - 4ac = 1² - 4 × 3 × ( - 4 ) = 1 + 48 = 49 = 7²

t = ( - 1 ± 7 ) / 6

1) t = - 4 / 3 - не подходит по условию | t | ≤ 1

2) t = 1 - подходит

Обратная замена:

$cosx = 1 \\ x = 2\pi \: n$

n принадлежит Z

На промежутке [ 0 ; π ] подходит только х = 0

ОТВЕТ: 0

Answer 2

Пусть $\tt \cos x=t$ при этом $\tt|t|\leq 1$, получим квадратное уравнение относительно t

$\tt 3t^2+t-4=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot3\cdot(-4)=49\\ \\ \displaystyle t_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2} =\frac{-1+7}{2\cdot 3}=1$

$\displaystyle \tt t_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2} =\frac{-1-7}{2\cdot 3}$ - не удовлетворяет условию

Обратная замена:

$\tt \cos x=1\\ \boldsymbol{x=2\pi n,n \in \mathbb{Z}}$

Отбор корней на промежутке [0;π].

Если $\tt n=0$, то $\tt x=2\pi \cdot 0=0$