Question

Вправильной треугольной призме abca1b1c1 ac=6, aa1=8. через вершину a проведена плоскость, пересекающая рёбра bb1 и cc1 соответственно в точках m и n. известно, что bm=mb1, а an является биссектрисой угла cac1.
1) построить сечение amn.
2) найти, в каком отношении эта плоскость делит объём призмы.

Answer 1

1) Сечение строится по заданным точкам.

Точку N находим в соответствии со свойством биссектрисы (см. пункт 2). Ребро СС1 точкой N делится в отношении 3:5.

2) По заданию AN является биссектрисой угла CAC1.

Диагональ АС1 боковой грани по Пифагору равна √(6² + 8²) = 10.

Примем СN = х.

По свойству биссектрисы х/6 = (8 - х)/10. Сократим знаменатели на 2.

24 - 3х = 5х,

8х = 24,

х = 24/8 = 3.

По заданию ВМ = 8/2 = 4.

Сечение AMN от призмы отсекает пирамиду с основанием BCNM, которое является трапецией (CN ║BM).

S(BCNM) =((3+4)/2)*6 = 21 кв.ед.

Высота H этой пирамиды равна высоте  основания АВС.

H = 6*cos 30° = 6*√3/2 = 3√3.

V1 = V(ABCNM) = (1/3)*21*3√3 = 21√3 куб.ед.

Площадь основания призмы So = 6²√3/4 = 9√3 кв.ед.

Объём призмы V = 9√3*8 = 72√3 куб.ед.

Объём отсечённой части призмы равен V2 = 72√3 - 21√3 = 51√3 куб.ед.

ОтношениеV1/V2 = 21√3/51√3 = 7/17.