Question

Решите в простых числах:

подробное решение, .​

Answer 1

$x^y=z-1$

Любое простое число, кроме 2, является нечётным.

Если z = 2, то либо x = 1, либо y = 0. Оба из этих чисел не являются простыми. Значит, z ≠ 2.

Если z — число нечётное, то $x^y$ — чётное. Учитывая, что x и y — простые числа, x может быть равен только 2, иначе это будет нечётным числом.

$2^y+1=z$

Попробуем поперебирать значения y:

2² + 1 = 5 — подходит,

2³ + 1 = 9 — не подходит,

2⁵ + 1 = 33 — не подходит,

2⁷ + 1 = 129 — не подходит...

Можно заметить, что при нечётных y z делится на 3. Всегда ли выполняется это условие?

Множество нечётных чисел включает в себя множество простых чисел (за исключением 2). Если $(2^{2k+1}+1)\mathrel{\vdots} 3$, то и для простых чисел, кроме 2, это тоже справедливо.

Докажем это методом математической индукции:

1. При k = 1 утверждение верно (см. перебор, второе равенство).

2. Пусть $2^{2k+1}\equiv 2\pmod{3}$ — верно.

3. $2^{2(k+1)+1}=2^{2k+3}=4*2^{2k+1}$

$4*2^{2k+1}\equiv 4*2=8\equiv 2\pmod{3}$

Значит, 2 в любой нечётной степени (даже 2¹, которое мы упустили из доказательства) при делении на 3 даёт остаток 2. Отсюда справедливо выражение $(2^{2k+1}+1)\mathrel{\vdots} 3$. Значит, z при всех простых y, отличных от 2, делится на 3, то есть не является простым числом. Отсюда получаем единственное найденное решение: x = 2, y = 2, z = 5.

ответ: (2; 2; 5)