Дано:
∆ ABC,
CD — биссектриса и высота.
Доказать:
∆ ABC — равнобедренный.
Проведем анализ задачи.
Какой треугольник — равнобедренный? Треугольник, у которого две стороны равны. Значит, нам нужно доказать, что две стороны ∆ ABC равны: AC=BC.
Равенство сторон вытекает из равенства треугольников. Следовательно, задача сводится к доказательству равенства двух треугольников.
Докажем, что ∆ADC и ∆ BDC равны.
Что нам известно об этих треугольниках?
Поскольку CD — биссектриса ∆ ABC, то она делит угол ACB на два равных угла. Значит, углы ACD и BCD равны.
Так как CD — высота ∆ ABC, то она образует со стороной AB два прямых угла.
Таким образом, у треугольников ADC и BDC уже есть две пары равных углов.
сторона CD — общая.
Три пары равных элементов для доказательства равенства треугольников есть.
Переходим непосредственно к доказательству.
Доказательство:
Рассмотрим ∆ ADC и ∆ BDC.
1) ∠ACD=∠BCD (так как CD — биссектриса треугольника ABC по условию).
2) ∠ADC=∠BDC=90º (так как CD — высота треугольника ABC по условию).
3) Сторона CD — общая.
Следовательно, ∆ ADC = ∆ BDC (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AC=BC. Значит, ∆ ABC — равнобедренный с основанием AB (по определению равнобедренного треугольника).
Что и требовалось доказать.
Если в треугольнике совпадают биссектрисы и высоты, проведенные к каждой из сторон, то такой треугольник — равносторонний (по доказанному выше, у него каждый две стороны равны между собой, а значит, все три стороны равны).
По этой теме план наших действий:
1) ищем производную
2) приравниваем её к нулю, решаем уравнение ( ищем критические точки)
3) смотрим: какие попали в указанный промежуток
4) ищем значения функции в этих точках и на концах промежутка
5) выбираем среди ответом нужные и пишем ответ
поехали?
1) f'(x) = 6x² + 6x - 36
2) 6x² + 6x - 36 = 0
x² + x - 6 = 0
по т. Виета х₁ = -3 и х₂ = 2
3) из этих корней в промежуток [ -2; 1] ни один корень
4) f(-2) = 2*(-2)³ + 3*(-2)² - 36*(-2) = 2*(-8) + 3*4 + 72 = -16 +12 +72 =
= 68
f(1) = 2*1 +3*1 -36*1 = -31
5) max f(x) = f(-2) = 68
min f(x) = f(1) = -31
