Имеется несколько одинаковых шаров.их можно уложить в виде квадрата или в виде правильного треугольника. найдите число этих шаров если известно что при треугольном их расположении в стороне треугольника будет на два шара больше чем в стороне квадрата при квадратном их расположении. предполагается что шары располагаются не только по контуру квадрата(треугольника) но и заполняют и внутреннюю часть квадрата(треугольника).
В треугольние шары будут располагаться (при движении от вершины к основанию) так:
1, 2, 3, 4, ... m, где m - сторона треугольника. Общее количество шаров определяется по методу Гаусса: ∑= ½*(1+m)*m = m/2 + m²/2
В квадрате же они будут располагаться так:
n, n, n, n, ..., n (всего n раз), где n - сторона квадрата. Число шаров равно n²
По условию, m = n+2/ Отсюда:
(n+2)/2 + (n+2)²/2 = n²
n/2 +1 + n²/2 + 4n/2 + 4/2 = n²
n²/2 + 2.5n + 3 = n²
0.5n² - 2.5n - 3 = 0
n² - 5n -6 =0
(n-6)(n+1)=0
n=-1 < 0, не соответствует условию
n=6
Следовательно, n=6
n²=36
[П р о в е р к а :
В треугольнике стороной 8 всего (1+2+3+...+8)= 36 шаров
В квадрате стороной 6 всего (6*6) = 36 шаров.
8-6 = 2, как и в условии. Следовательно, расчеты верны.]
ответ: 36 шаров