Question

X^3-y^3=7 решить уравнение в натуральных числах

Answer 1

По формуле разности кубов:
$7=x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

поскольку x и y - натуральные числа, то (x - y) и (x^2+xy+y^2) это целые числа
причем 7 делится на оба
7 - простое число, оно делится только на себя и на 1
следовательно мы получили две системы:
$\left \{ {{x-y=1} \atop {x^2+xy+y^2=7}} \right. \\ \left \{ {{x-y=7} \atop {x^2+xy+y^2=1}} \right.$

решаем первую:
$x-y=1\\ y=x-1\\ 7=x^2+x(x-1)+(x-1)^2=3x^2-3x+1\\ 3x^2-3x-6=0\\ x^2-x-2=0\\ D=1+4*2=9\\ x_{1} = \frac{1+3}{2} =2\\ x_{2} = \frac{1-3}{2} =-1\\ y_{1}=1\\ y_{2}=-2$

решаем вторую:
$x-y=7\\ y=x-7\\ 1=x^2+x(x-7)+(x-7)^2=3x^2-21x+49\\ 3x^2-21x+48=0\\ x^2-7x+16=0\\ D=49-4*16 \ \textless \ 0$
корней нет

ответ: x = 2 и y = 1; x = -1 и y = -2