Question

Определите значение параметра с так, что бы прямая x-y+c=0 была касающейся, секущей и вообще не принадлежала элипсу: 4x^2+9y^2-16x-18y+24=0 вообщем, нужно найти прямые, чтобы были касательной, секущей и т.д

Answer 1

Уравнение прямой y = x + c
Уравнение эллипса 4x^2 + 9y^2 - 16x - 18y + 24 = 0
Подставляем уравнение прямой в уравнение эллипса
4x^2 + 9(x + c)^2 - 16x - 18(x + c) + 24 = 0
Если прямая касательная, то это уравнение имеет 1 корень. D = 0
Если прямая секущая, то уравнение имеет 2 корня. D > 0
Если прямая не пересекается с эллипсом, то корней нет. D < 0
4x^2 + 9x^2 + 18cx + 9c^2 - 16x - 18x - 18c + 24 = 0
13x^2 + x(18c - 34) + (9c^2 - 18c + 24) = 0
D/4 = (b/2)^2 - ac = (9c - 17)^2 - 13(9c^2 - 18c + 24) =
= 81c^2 - 306c + 289 - 117c^2 + 234c - 312 = -36c^2 - 72c - 23 =
= -(36c^2 + 72c + 23) = -(36c^2 + 72c + 36) + 13 = 13 - 36(c + 1)^2
1) D/4 = 0
(c + 1)^2 = 13/36
c1 = -1 - √13/6; c2 = -1 + √13/6
2) D/4 > 0
c ∈ (-1 - √13/6; -1 + √13/6)
3) D/4 < 0
c ∈ (-oo; -1 - √13/6) U (-1 + √13/6; +oo)