Question

При каких значениях параметра, а уравнение |x^2-4|x|+3|=a имеет шесть решений?

Answer 1

$|x^2-4|x|+3|=a$

при отрицательных a решений не существует...

при положительном a уравнение распадается на два
$x^2-4|x|+3 = a\\x^2-4|x|+(3-a)=0\\D=16-4(3-a)=4+4a=4(1+a)\\|x|=\frac{1}{2}(4\pm2\sqrt{1+a})=2\pm\sqrt{1+a}\\x_1=-2-\sqrt{1+a};x_2=2+\sqrt{1+a}\\x_3=-2+\sqrt{1+a};x_4=2-\sqrt{1+a}$
Таким образом при a=3 уравнение имеет 3 решения, при остальных положительных a - четыре решения

$x^2-4|x|+3 = -a\\x^2-4|x|+(3+a)=0\\D=16-4(3+a)=4-4a=4(1-a)\\|x|=\frac{1}{2}(4\pm2\sqrt{1-a})=2\pm\sqrt{1-a}\\x_1=-2-\sqrt{1-a};x_2=2+\sqrt{1-a}\\x_3=-2+\sqrt{1-a};x_4=2-\sqrt{1-a}$
При $0\leqslant a \ \textless \ 1$ - четыре решения
При а = 1 - два решения

Следовательно шесть решений будет при a=1