Question

Нужно решить уравнения с параметром : 1.найдите все значения a, при каждом из которых ровно один корень уравнения x^2 + x -a2 -a = 0 входит в промежуток (-2; 3). 2.найдите все значения а , при каждом из которых оба корня уравнения x^2-ax-a=0 меньше 2

Answer 1

1. x^2 + x - a^2 - a = 0
D = 1 + 4(a^2 + a) = 4a^2 + 4a + 1 = (2a + 1)^2
x1 = (-1 - 2a - 1)/2 = (-2a - 2)/2 = -a - 1
x2 = (-1 + 2a + 1)/2 = 2a/2 = a
Только один корень должен быть от -2 до 3. Два варианта:
a)
{ -2 < -a - 1 < 3
{ a <= -2 U a >= 3
Упрощаем
{ -1 < -a < 4
{ a <= -2 U a >= 3
Умножаем на -1
{ -4 < a < 1
{ a <= -2 U a >= 3
a ∈ (-4; -2]
b)
{ -2 < a < 3
{ -a - 1 <= -2 U -a - 1 >= 3
Упрощаем
{ -2 < a < 3
{ -a <= -1 U -a >= 4
Умножаем на -1
{ -2 < a < 3
{ a <= -4 U a >= 1
a ∈ [1; 3)
c) При D = 0 будет a = -1/2, тогда
x1 = x2 = -1/2 ∈ (-2, 3)
ответ: a ∈ (-4; -2] U {-1/2} U [1; 3)
Целые значения: -3, -2, 1, 2

2. x^2 - ax - a = 0
D = a^2 + 4a
x1 = (a - √(a^2 + 4a))/2
x2 = (a + √(a^2 + 4a))/2
Оба корня должны быть меньше 2.
Так как x1 < x2, то достаточно, чтобы x2 < 2,
тогда x1 тем более меньше 2.
(a + √(a^2 + 4a))/2 < 2
a + √(a^2 + 4a) < 4
√(a^2 + 4a) < 4 - a
Корень арифметический, поэтому неотрицательный, то есть
4 - a > 0; a < 4
Возводим неравенство в квадрат
a^2 + 4a < (4 - a)^2
a^2 + 4a < a^2 - 8a + 16
12a < 16
a < 4/3