Question

Найдите все многочлены вида f(x)=x^3+ax^2+(a+b)x+b+1 , имеющие целые корни и удовлетворяющие условию 2a+ b=-2 .

Answer 1

 $b=-2-2a$           
 $f(x) = x^3+ax^2+(-2-a)x-2a-1$   
 Подставим $x=-1$ , получим  $0$  ,  значит корень будет в любом случае равен  $x= -1$           
 $(x-1)( x^2+x(a-1)-2a-1) = 0 \\ x^2+x(a-1)-2a-1 = 0 \\ D=a^2+6a+5$  Рассмотрим выражение a^2+6a+5=k^2 , так как корни квадратного уравнения имеют вид x1,2=(1-a+/-k)/2 и целыми , то k- должно быть по крайней мере не иррациональным числом . a^2+6a+5 = (a-3)^2-4=k^2 (a+k+3)(a-k+3)=4 , пусть они соотвественно равны x*y=4, рассмотрим случаи x*y={1*4, 4*1, 2*2, -2*-2, -4*-1, -1*-4} по порядку . Первый случай {a+k+3=1 {a-k+3=4 Суммируя оба выражения ,получаем решения a=-1/2, k=-3/2, подставляя в общий вид корня уравнения x1,2 получим не целые значения , рассмотрев аналогично все случаи подходят лишь 1)x=2,y=2 и 2)x=-2,y=-2. При 1) получаем решение a=-1, k=0 2) получаем решение a=-5, k=0 При этом корни целые. Значит a=-1 , b=0 и a=-5, b=8.