Question

При каких натуральных n число n^6+2n^5-n^2-2n делится на 120? подробно

Answer 1

$n^6+2n^5-n^2-2n=n(n^5+2n^4-n-2)=\\n(n^4(n+2) - (n+2))=n(n+2)(n^4-1)=\\n(n+2)(n^2-1)(n^2+1)=n(n+2)(n-1)(n+1)(n^2+1)=\\n(n+2)(n-1)(n+1)(n^2-4+5)=\\n(n^2-4)(n+2)(n-1)(n+1)+5n(n+2)(n-1)(n+1)=\\(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)(n+2)$

     Мы получили два слогаемых рассмотрим первое: это произведение пяти последовательных чисел! значит одно из этих чисел должно делится на: 1 ,2, 3, 4 и  5.А число которое делится на эти числа - делится и на их произведение! Получим:

1*2*3*4*5=120 - мы получили что первое слогаемое делится на 120.

     Рассмотрим второе слогаемое:произв. 4 последовательных чисел и при том -делится на 5. Получим: 1*2*3*4*5=120 - почти также как и первое слогаемое.

 Мы получили сумму двух чисел ,каждое из которых делится на 120, значит и вся сумма делится на 120.