Question

Как решить лимит lim x-> к бесконечности (2n+5/2n+7)^2n+1

Answer 1

Как определить предел $\lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1}$

Решение:

$\lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+5}{2n+7})^{2n+1} = \lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+7-2}{2n+7})^{2n+1}=$

$= \lim_{n \to \infty} ( \frac{2n+7}{2n+7}- \frac{2}{2n+7} )^{2n+1}= \lim_{n \to \infty} ( 1-\frac{2}{2n+7})^{2n+1}=$

$= \lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{2n+1}= 1^{\infty}$

 Данная неопределенность раскрывается с второго замечательного предела.
Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр

 α =$-(n+ \frac{7}{2})$ ,
 значит, в показателе степени нам тоже нужно организовать

 $-(n+ \frac{7}{2})$ .

 Для этого возводим основание в степень

 $-(n+ \frac{7}{2} )$  и,

 чтобы выражение не изменилось – возводим в степень

$-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} }$ :

$\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{2n+1}=\lim_{n \to \infty} (1-\frac{1}{n+ \frac{7}{2} })^{-(n+ \frac{7}{2})* (-\frac{2n+1}{n+ \frac{7}{2} }) }=$

$=e^{ \lim_{n \to \infty}(-\frac{2n+1}{n+ \frac{7}{2} }) }=e^{ \lim_{n \to \infty}(-\frac{2+ \frac{1}{n} 1}{1+ \frac{7}{2n} }) }=e^{-2}= \frac{1}{e^2}$