Question

Решить тригонометрические уравнения, . sin^2x-9 sin x*cos x+3cos^2x=-1 найдите корни уравнения √3sin2x=cos2x , принадлежащие отрезку [-1; 4]

Answer 1

$sin^2x-9sinxcosx+3cos^2x=-1 \\ sin^2x-9sinxcosx+3cos^2x+1=0 \\ sin^2x-9sinxcosx+3cos^2x+sin^2x+cos^2x=0 \\ 2sin^2x-9sinxcosx+4cos^2x=0 | :cos^2x \\ 2tg^2x-9tgx+4=0 \\ D = 81 - 32 = 49 \\ tgx = 4, tgx = 0.5 \\ x = arctg(4), x = arctg(0.5)$

$\frac{ \sqrt{3} sin(2x)}{cos(2x)} = 1 \\ \sqrt{3} tg(2x) = 1 \\ tg(2x) = \frac{1}{ \sqrt{3} } \\ 2x = arctg( \frac{1}{ \sqrt{3} } ) = \pi / 6 \\ x = \pi / 12 + \pi n$
Для отрезка [-1; 4] это $\pi / 12$ и $13 \pi /12$, дальше уже больше 4.