1 было: 20 г золота, Х г серебра
2 стало: 20+10=30 г золота, Х+5 г серебра
1) 20+Х ---100%
Х п%
100Х / (20+Х) --- был процент серебра
2) 30+Х+5 --- 100%
Х+5 п%
100(Х+5) / (35+Х) --- стал процент серебра и здесь на 5% серебра больше
100Х / (20+Х) + 5 = 100(Х+5) / (35+Х)
(100Х+100+5Х) / (20+Х) = (100Х+500) / (35+Х)
(105Х+100)*(35+Х) = (20+Х)*(100Х+500)
3675Х+105Х^2+3500+100X = 2000X+10000+100X^2+500X
5X^2+1275X-6500=0
X^2 + 255X - 1300 = 0 D = 255*255+4*1300 = 70225 корень(D) = 265
X1 = (-255+265)/2 = 5 (второй корень отрицательный)
В первоначальном сплаве было 5 г серебра
Уфф... Давно не решал олимпиадных задач по математике, что ж, попробуем)
Пусть А - число из 4048 знаков.
Из них в нечётных разрядах Х единиц и У = 2024 - Х двоек.
Тогда в чётных разрядах будет Х двоек и У единиц.
Заметим, что тут Х принимает любые значения в интервале от 0 до 2024.
Разность сумм цифр в нечётных и чётных разрядах равна:
(Х + 2У) - (2Х + У) = У - Х = 2024 - 2Х. Поскольку 2024 делится на 11, то число 2024 - 2Х делится на 11 тогда и только тогда, когда Х делится на 11.
За один ход Х изменяется не более чем на 1. Потому, если Даня изначально сложит число А, для которого, например, Х = 5, то Феде потребуется не менее 5 ходов для того, чтобы полученное число делилось на 11.
Пусть Х - отличное от нуля число. Тогда:
- меняя единицу, стоящую в нечётном разряде, с двойкой, которая стоит в чётном, Федя уменьшает Х на единицу;
- меняя двойку, стоящую в нечётном разряде, с единицей, стоящей в чётном, он увеличивает за один ход Х на 1, если Х - число, отличное от 2024.
Пусть начальное число даёт при делении на 11 остаток R. Тогда:
- если R = 0, то число делится на 11, и Феде ничего делать не нужно.
- если R лежит в интервале от 1 до 5 включительно, то за R своих ходов Федя может уменьшить Х на величину R до ближайшего числа, кратного 11;
- если R лежит в интервале от 6 до 10 включительно, то за 11 - R своих ходов Федя увеличивает Х на величину 11 - R до ближайшего числа, кратного 11. Это возможно, так как наибольшее значение Х, равное 2024, кратно 11.
Поэтому минимальное число ходов для Феди равно 5. И при этом он стремится, если верить условию, заплатить как можно меньше. А значит, Даня может получить не более, чем 5 фоксиков.
ответ: 5 фоксиков.
