Обозначим cлагаемые за Х,У,Z
(X+Y+Z)/3>=1
Согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом достаточно доказать :
ХУZ>=1
Вернемся к исходным обозначениям
8abc>=(a+b)(b+c)(a+c)
Снова согласно неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом видим
a+b>=2sqrt(ab) b+c>=2sqrt(сb) (a+c)>=2sqrt(ac)
поэтому можим заменить сомножители справа на произведение
2sqrt(ab)*2sqrt(aс)*2sqrt(сb)=8abc, что и доказывает неравенство.
Равенство достигается только при а=с=b
здесь я предпочитаю пользоваться элементарной прикидкой.
√6 ≈ 2.4 - это приближенное значение корня
5√6 ≈ 12.2
5√6 + 1 ≈ 13.2
число 13.2 лежит между числами 13 и 14. Значит, и значение всего выражения лежит между числами 13 и 14.