Question

Решите уравнение cos^2x-sin^2x=2*sinx-1-2*sin^2x

Answer 1

$cos^2x - sin^2x = 2sinx - 1 - 2sin2x$

видим, что с обеих сторон стоят формулы двойного аргумента косинуса - меняем их.

$cos2x = 2sinx - cos2x$

$2cos2x = 2sinx$

обратно раскрываем так, чтобы было удобно работать с синусом.

$2(1 - 2sin^2x) = 2sinx =\ \textgreater \ 2 - 4sin^2x = 2sinx$

приводим в порядок.

$4sin^2x + 2sinx - 2= 0$

делаем замену:

$sinx = t$

и учитываем то, что синус принадлежит только отрезку [-1;1]

$4t^2 + 2t -2 = 0$

поделим на два:

$2t^2 + t - 1 = 0$

находим дискриминант (можете по теореме Виета. Ну, как вам удобней)

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4*2*(-1) = 1 + 8 = 9$

находим t:

$t_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-1-3}{4} = -1$
как видите, корни входят в отрезок, теперь вместо t подставляем sinx:

$sinx = \frac{1}{2}$

$x = (-1)^k*arcsin \frac{1}{2} + \pi *k = (-1)^k* \frac{\pi}{6} +\pi*k$, где k ∈ Z

$sinx = -1$

это частный случай. поэтому не будем утруждать себя.

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi*k$, где k ∈ Z

C: