Question

Найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число

Answer 1

Обозначим искомое число как $n^3$, по условию $n^3=13p+1$. Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители:
$(n-1)(n^2+n+1)=13p$

Понятно, что $n2$, тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение $13p$ представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок $13p=13\cdot p$. Поэтому $n-1$, $n^2+n+1$ равны либо $13$ и $p$, либо $p$ и $13$.

Случай 1. $\begin{cases}n-1=13\\n^2+n+1=p\end{cases}$
Из первого уравнения следует, что $n=14$, тогда после подстановки во второе уравнение находим $p=14^2+14+1=211$. $211$ - действительно простое число, так что $n=14$ нас устраивает.

Случай 2. $\begin{cases}n-1=p\\n^2+n+1=13\end{cases}$
Тут всё немного сложнее: уравнение на $n$ квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение $n^2+n-12=0$, у которого только один натуральный корень $n=3$.
Подставляем в первое равенство: $p=3-1=2$ - простое число, так что и тут нас всё устраивает.

ответ. $14^3=2744$, $3^3=27$