1) log3 (3x-1)< log3 (2x+3)
OOH(область определения неравенства): 3x-1>0; 3x>1; x>1/3
2x+3>0; 2x>-3; x>-3/2
3x-1<2x+3
x<4
(x<4, x>1/3) - система
ответ: 1/3<x<4
второе точно так же
3) log1/9 (4x-3)>=log1/9 (x+3)
OOH: 4x-3>0; 4x>3; x>3/4
x+3>0; x>-3
4x-3<=x+3
3x<=6
x<=2
(x<=2, x>3/4)- система
ответ: 3/4<x<2
4) 2-lg^2x>=lgx
lg^2x+lgx-2>=0
lgx=t -замена
t^2+t-2=0
t1,2=(-1+-корень из(1+4*2))/2=(-1+-3)/2
t1=1, t2=-2
lgx=1; x=10
lgx=-2; x=10^-2; x=1/100
нужно решить интервалами, получается:
ответ: 1/100<=x<=10
х-числитель искомой дроби, тогда (х+2) - знаменатель ее. обратная к искомой дроби будет (х+2)/х. Можно составить уравнеие:
х/(х+2) + (х+2)/х = 130/63
ОДЗ: х не равен 0 и х не равно -2. и еще х должен быть положительным.
приводим к общему знаменателю слагаемые:
(х²+(х+2)²) / (х*(х+2)) = 130/63
(х²+х²+4х+4) / (х*(х+2)) = 130/63
(2х²+4х+4) / (х*(х+2)) = 130/63
63(2х²+4х+4) = 130*х*(х+2)
сократим на 2 обе части:
63х²+126х+126=65х²+130х
2х²+4х-126=0
х²+2х-63=0
Д=4+252=256-2 корня
х1=(-2+16)/2=14/2=7
х2=(-2-16)/2=-18/2=-9 - не удовлетворяет ОДЗ, значит не подходит
Находим знаменатель дроби: 7+2=9
Получили дробь: 7/9.
Проверка:
7/9 + 9/7 = (49+81)/63 = 130/63 - верно
ответ: искомая дробь: 7/9.
Это показательная функция, которая определена при любых х, и принимает только положительные значения.
y'=0 при x=-2
⇒ -2 - точка, подозрительная на экстремум.
y' + -
--------|---------> x
y ↗ -2 ↘
y > 0 при x < -2 ⇒ функция у возрастает при х ≤ -2
y < 0 при x > -2 ⇒ функция у убывает при х ≥ -2
Тогда х = -2 - точка максимума
Множество значений - это 0 < y ≤ 32
Число целых значений есть 32.
ответ: 32.