Чтобы уравнение имело действительное решение , достаточно чтобы дискриминант был неотрицательным.
D/4 = (a^3-b^3)^2 -(a^2-b^2)*(a^4-b^4)>=0
То есть , необходимо доказать , что при любых a и b справедливо строгое неравенство :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4)
(a-b)^2*(a^2+ab+b^2)^2>=(a-b)^2* (a+b)^2 * (a^2+b^2)
Заметим , что когда a=b , получаем что 0=0 , то есть условие выполнено. И в этом случае уравнение имеет бесконечно много решений.
Теперь, поскольку мы разобрали этот случай и (a-b)^2>=0 , то для случая a≠b , можно поделить обе части неравентсва на (a-b)^2 не меняя знак неравенства :
(a^2+ab+b^2)^2>=(a+b)^2*(a^2+b^2)
( a^2+ab+b^2)^2 >= (a^2+2ab+b^2)*(a^2+b^2)
Теперь сделаем слудующий прием , поскольку (a^2+b^2)^2>0 при a≠b≠0
То можно поделить на это выражение обе части неравенства не меняя его знак :
( 1+ ab/(a^2+b^2) )^2>= 1+ 2ab/(a^2+b^2)
Тогда можно сделать замену:
ab/(a^2+b^2)=t
(1+t)^2>=1+2t
t^2+2t+1>=1+2t
t^2>=0 (верно)
Таким образом :
(a^3-b^3)^2>=(a^2-b^2)*(a^4-b^4) , то есть D>=0.
Вывод : уравнение имеет действительное решение при любых действительных а и b.
Что и требовалось доказать.
1)(3x)в кубе-3*(3x)в квадрате*(-4)+3*3x*(-4)в квадрате-(-4)в кубе=9x в кубе-18x в квадрате*(-4)+9x*16-(-64)=9x в кубе+64x в квадрате+144x+64
2)(3x-2)в кубе=(3x)в кубе-3(3x)в квадрате*(-2)+3*3x(-2)в квадрате-(-2)в кубе=27x в кубе+36x в квадрате+36х+8
3)9х в кубе+64х в квадрате+144х+64+27х в кубе+36х в квадрате+36х+8-27х в кубе=9х в кубе+100х в квадрате+180+72
4)9*(0,5)в кубе+100*(0,5)в квадрате+180*(0,5)+72=1,125+25+90+72=188,125