y = 4x - x² - Квадратичная функция, график - парабола, ветви направлены вниз ( a = -1). Максимальное значение принимает в вершине, минимальное значение не имеет, снизу не ограничена.
a) Координаты вершины параболы
x₀=2 ∈ [0; 3] ⇒ x₀=2 - точка максимума функции попадает в заданный интервал, наибольшее значение функции y₀ = 4.
Значения функции на границах интервала
x = 0; y = 4·0 - 0² = 0
x = 3; y = 4·3 - 3² = 3
Наименьшее значение y = 0 при x = 0.
б) x∈(-∞; 2] - функция возрастает
x∈[2; +∞) - функция убывает
в) 4x - x² < 0 ⇔ x (4 - x) < 0
Метод интервалов : x₁ = 0; x₂ = 4
------------ (0) +++++++++ (4) -----------> x
x∈(-∞; 0) ∪ (4; +∞)
Объяснение:
Решим первое неравенство. ОДЗ:
Если x < 1 или x ≥ 4, то модули раскрываются с одним знаком, произведение подмодульных выражений положительно:
Учитывая, что x < 1 или x ≥ 4, а также учитывая ОДЗ, 
Если 1 ≤ x < 4, то модули раскрываются с разным знаком, произведение подмодульных выражений отрицательно:
Учитывая, что 1 ≤ x < 4 и ОДЗ, 
.
Объединяя полученные промежутки, получаем, что
Решим второе неравенство. Пусть 
. Тогда
Если правая часть отрицательна, то неравенство выполняется на ОДЗ, так как квадратный корень всегда неотрицателен:
Если правая часть неотрицательна, то обе части можно возвести в квадрат:
Если t ≥ 0, то модуль раскрывается с плюсом, первое неравенство имеет вид:
Если t < 0, то модуль раскрывается с минусом, неравенство имеет вид:
Сумма неотрицательного и положительного чисел не может быть неположительной. В данном случае решений нет.
Учитывая -9 ≤ t ≤ 9, решением данного случая является ![t\in[4;9]](/tpl/images/1358/7181/70120.png)
Объединив оба случая, получаем t ≥ 4,
![2x^2+7x-4\geq 0\\(x+4)(2x-1)\geq 0\\x\in(-\infty;-4]\cup[\frac{1}{2};+\infty)](/tpl/images/1358/7181/42d33.png)
Пересечём полученные решения: ответом будет
решение в прикрепленном файле