Question

Тригонометрическое неравенство. в требуется: "найти решение неравенств на указанном промежутке". вот два неравенства: вот ответы моих решений самих неравенств, без выявления решений на указанных промежутках: как быть с промежутками? в первом x ∈ [-π; π], но в неравенстве не x, а 2x, отчего вопрос: надо ли [-π; π] умножать на 2? т.е. x ∈ [-π; π] = 2x ∈ [-2π; 2π] ? а во втором неравенстве наоборот, делить всё, как точки неравенства, так и указанный промежуток на 3?

Answer 1

Так как уже найден х, то домножать 2 (или делить на 3) нет необходимости. В принципе, можно домножить/разделить заданный промежуток, найти ответ относительно новой переменной (у=2х или z=х/3) и вернуться к исходной переменной х.

1. Находим пересечение общего решения $x\in [-\frac{\pi}{6}+\pi n;\ \frac{2\pi }{3}+\pi n]$ с заданным промежутком $[-\pi;\ \pi]$. Пересекая, получаем ответ: $x\in[-\pi;\ -\frac{\pi }{3}]\cup[-\frac{\pi}{6};\ \frac{2\pi }{3}]\cup[\frac{5\pi}{6};\ \pi]$

2. Обозначим $\frac{x}{3} =z$. Тогда, заданный промежуток примет вид $[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}]$. Ищем пересечение общего решения $z\in (\frac{\pi}{3}+2\pi n; \frac{5\pi}{3}+2\pi n)$ с промежутком $[\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}]$. Пересекая, получаем ответ: $z\in( \frac{\pi }{3}; \ \frac{\pi }{2}]$
Возвращаемся к переменной х: $\frac{x}{3} \in( \frac{\pi }{3}; \ \frac{\pi }{2}]$
Итоговый ответ: $x \in( \pi ; \ \frac{3\pi }{2}]$