Question

2sin(x/2)=3sin^2(x/2) sin6xcosx+cos6xsinx=0.5 3sinx+4sin(п/2+x)=0

Answer 1

1)
2sin(x/2)=3sin²(x/2)
2sin(x/2)-3sin²(x/2)=0
sin(x/2) (2-3sin(x/2))=0

a) sin(x/2)=0
x/2=πk, k∈Z
x=2πk,  k∈Z

b)  2-3sin(x/2)=0
-3sin(x/2)=-2
sin(x/2)=2/3
x/2=(-1)^n * arcsin(2/3)+πk,  k∈Z
x=2*(-1)^n * arcsin(2/3)+2πk,  k∈Z

ответ: 2πk,  k∈Z;
            2*(-1)^k*arcsin(2/3)+2πk, k∈Z.

2)
sin6xcosx+cos6xsinx=0.5
sin(6x+x)=0.5
sin7x=0.5
7x=(-1)^k*(π/6)+πk,  k∈Z
x=(-1)^k*(π/42)+(π/7)*k,  k∈Z

ответ: (-1)^k*(π/42)+(π/7)*k,  k∈Z.

3)
3sinx+4sin(π/2+x)=0
3sinx+4cosx=0
$3sin2*( \frac{x}{2} )+4cos2*( \frac{x}{2} )=0 \\ \\ 3*2sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )+4(cos^2( \frac{x}{2} )-sin^2( \frac{x}{2} ))=0 \\ \\ -4sin^2( \frac{x}{2} )+6sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )+4cos^2( \frac{x}{2} )=0 \\ \\ 2sin^2( \frac{x}{2} )-3sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )+2cos^2( \frac{x}{2} )=0 \\ \\ \frac{2sin^2( \frac{x}{2} )}{cos^2( \frac{x}{2} )}- \frac{3sin( \frac{x}{2} )cos( \frac{x}{2} )}{cos^2( \frac{x}{2} )}+ \frac{2cos^2( \frac{x}{2} )}{cos^2( \frac{x}{2} )}$=0
$2tg^2( \frac{x}{2} )-3tg( \frac{x}{2} )-2=0 \\ \\ y=tg( \frac{x}{2} ) \\ \\ 2y^2-3y-2=0 \\ D=9+4*2*2=25 \\ y_{1} =\frac{3-5}{4}=- \frac{2}{4}=- \frac{1}{2} \\ \\ y_{2}= \frac{3+5}{4}=2$

a) При у=-1/2
$tg( \frac{x}{2} )=- \frac{1}{2} \\ \frac{x}{2}=-arctg \frac{1}{2} + \pi k \\ \\ x=-2arctg \frac{1}{2}+2 \pi k$,
k∈Z;

b)  При у=2
$tg( \frac{x}{2} )=2 \\ \frac{x}{2} =arctg2+ \pi k \\ \\ x=2arctg2+2 \pi k,$
k∈Z.

ответ: $-2arctg \frac{1}{2}+2 \pi k,$k∈Z;
             $2arctg2+2 \pi k,$k∈Z.