Question

Какая последняя цифра значения выражения 3 в 16 степени + 7 в 16 степени в ответе получилось 2, надо решение

Answer 1

$3^1 = 3, \ 3^2 = 9, \ 3^3 = 27, \ 3^4 = 81$

Чередуются цифры: 3, 9, 7, 1.
Если показатель степени с основанием 3 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 3, 9 или 7).

$7^1 = 7, \ 7^2 = 49, \ 7^3 = 343, \ 7^4 = 2401$

Чередуются цифры: 7, 9, 3, 1.
Если показатель степени с основанием 7 делится нацело на 4, то последняя цифра числа равна 1 (соответственно, если при делении на 4 степени числа даёт остаток 1, 2 или 3, то число оканчивается на 7, 9 или 3).

16 = 4*4 + 0, следовательно, числа $3^{16}$ и $7^{16}$ оканчиваются на 1, а их сумма (...1 + ...1) на 2.

Для таких рассуждений есть строгие формальные обозначения, но их далеко не всегда проходят в школе. Вот так выглядит более строгое решение:

$3 \equiv 3 \ (\mod 10 \ ), \ 3^2 \equiv 9 \ (\mod 10 \ )\\\\ 3^4 \equiv 81 \ (\mod 10 \ ), \ 81 \equiv 1 \ ( \mod 10 \ ) \Rightarrow 3^4 \equiv 1 \ (\mod 10 \ )\\\\ 3^{16} \equiv 1 \ (\mod 10 \ )$

$7 \equiv 7 \ (\mod 10 \ ), \ 7^2 \equiv 49 \ (\mod 10 \ )\\\\ 7^4 \equiv 2401 \ (\mod 10 \ ), \ 2401 \equiv 1 \ ( \mod 10 \ ) \Rightarrow 7^4 \equiv 1 \ (\mod 10 \ )\\\\ 7^{16} \equiv 1 \ (\mod 10 \ )\\\\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 1 + 1 \ (\mod 10 \ )\\\\ 3^{16} + 7^{16} \equiv 2 \ (\mod 10 \ )$