Question

На , нужно завтра сдать! нужно походовое решение! доказать, что при любом натуральном n имеет место неравенство

Answer 1

Для любого натурального n>1 справедливо неравенство
$\frac{1}{n^2}$ <=>
$n^2n(n-1)$
$n^2n^2-n$
$0-n$ ,что очевидно

а так как $\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+....+\frac{1}{n(n-1)}=$
$\frac{2-1}{1*2}+\frac{3-2}{2*3}+...\frac{n-(n-1)}{n(n-1)}=$
$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=$
$1-\frac{1}{n}$

то $S_n=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}$
$\frac{1}{1*2}+\frac{1}{2*3}+..+\frac{1}{n(n-1)}=1-\frac{1}{n}$
$S_n$

более строго можно доказать используя в доказательстве метод мат. индукции...