Question

Найдите четыре последовательных нечетных числа, произведение которых равно 105. p.s. полученное уравнение решите рационально и с подробностями

Answer 1

первый разложим 105 на простые множители

105=3*5*7

отсюда очевидно, что указаннным можно расписать двумя либо 105=1*3*5*7

либо 105=(-7)*(-5)*(-3)*(-1)

(число можно сколько угодно умножать на 1, если заменить хотя бы два из множителей 3, 5, 7 их произведением, то не получим последовательных нечетных чисел)

второй Пусть первое число равно 2х-3, тогда второе число равно 2х-1, третье число равно 2х+1, 2х+3

(прим.: любое нечетное число имеет вид 2n+1, где n-некоторое целое число,

два последоватьных нечетных числа отличаются значением на 2,

так 3-1=2, 7-5=2, и т.д.)

(прим. начали с 2х-3 а не с 2х+1 для простоты вычислений, в таком слычае у нас "прекрасная" возможность применить формулу разности квадратов)

по условию задачи составляему уравнение:

(2x-3)(2x-1)(2x+1)(2x+3)=105

применяя формулу квадрата разности

(4x^2-9)(4x^2-1)=106

расскрывая скобки

16x^4-4x^2-36x^2+9=105

свдя подобные члены

16x^4-40x^2+9=105

перенеся все слагаемые в левую часть

16x^4-40x^2+9-105=0

сводя подобные члены

16x^4-40x^2-96=0

разделив обе части уравнения на 8

2x^4-5x^2-12=0

введя замену

x^2=t, t>=0

получаем из биквадартного квадратное уравнение и решаем его

2t^2-5t-12=0

D=5^2-4*2*(-12)=121

t1=(5-11)/(2*2)<0 - не подходит

t2=(5+11)/(2*2)=4

откуда x=2 или х=-2

а искомые числа либо 1, 3,5 ,7 либо -7, -5, -3, -1

или (третий схожий со вторым, но с другими "заменами")если обозначать все же первое число как 2х+1, второе тогда 2х+3, третье числ о2х+5, четвертое 2х+7, получим уравнение

(2х+1)(2х+3)(2х+5)(2х+7)=105

переменожив между собой первый и четвертый множитель, второй и третий поулчим уравнение

(4x^2+8x+7)(4x^2+8x+10)=105

далее водится замена t=4x^2+8x+7

и получим квадратное уравнение

t(t+3)=105

t^2+3t-105=0

находим t1, t2

потом возвращаемся к замене и решаем четыре квадаратных уравнения

приддем к тому же результату

ответ: 1,3 ,5,7 или -7, -5, -3,-1

Answer 2

(2х-3)(2х-1)(2х+1)(2х+3)=105

применяем формулу разности квадратов

(4x^2-9)(4x^2-1)=105

16x^4-4x^2-36x^2+9=105

16x^4-40x^2-96=0

4x^4-10x^2-24=0, пусть x^2=t

4t^2-10t-24=0

D=100+384=484

Целый корень t=4, тогда х=2, х=-2

Подставим 2 в первое наше уравнение, получим

1*3*5*7=105

-7*(-5)*(-3)*(-1)=105

ответ: 1, 3, 5, 7;

           -7, -5, -3, -1.