Question

10sin^2 x + 6sin x cos x - 4 cos^2 x = 0. нужно объяснение, какими формулами пользуетесь я не шарю, но понять хочу ^2 - в квадрате

Answer 1

$10sin^2x+6sinxcosx-4cos^2x=0\\5sin^2x+3sinxcosx-2cos^2x=0$

Это однородное тригонометрическое уравнение 2-го порядка. Все такие уравнения решаются путем их деления на cos^2x или sin^2x. Можно делить без потери корней потому, что ни cos^2x ни sin^2x не равны 0 в этих уравнениях. Давайте разделим на cos^2x (так удобнее).

$\frac{5sin^2x}{cos^2x}+\frac{3sinxcosx}{cos^2x}-\frac{2cos^2x}{cos^2x}=0\\5tg^2x+3tgx-2=0$

Для удобства введем замену:
$t=tgx,\,\,t\in R\\5t^2+3t-2=0\\D=9+4*5*2=9+40=49\\\\t_1=\frac{-3+7}{10}=\frac{2}5\\\\t_2=\frac{-3-7}{10}=-1$

Теперь делаем обратную замену:
$\left[\begin{array}{ccc}t=\frac{2}5\\t=-1\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}tgx=\frac{2}5\\tgx=-1\end{array}\right=\ \textgreater \ \left[\begin{array}{ccc}x=arctg\frac{2}5+\pin;n\in Z\\x=-\frac{\pi}4+\pi n;n\in Z\end{array}\right$