Очевидно, задача сводится к тому, чтобы доказать, что при любых а выражение а³-а разделится на 2 и на 3
1. а³ - а = а × а × а - а если а - четное, то а³ - а тоже четное если а - нечетное, то а³ - нечетное. Если из любого нечетного вычесть нечетное, то результат будет четным. Действительно: пусть х - четное и у - четное. Тогда х + 1 - нечетное и у + 1 - нечетное. (х + 1) - (у + 1) = х + 1 - у - 1 = х - у - четное по определению Таким образом, а³ - а - делится на 2 при любых а.
2. а³ - а = а(а² -1) = а(а - 1)(а + 1) - при любом а данное произведение является произведением трех последовательных чисел (а -1) ; а ; (а + 1) Из любых трех последовательных чисел одно всегда разделится на 3, следовательно и все произведение этих чисел разделится на 3
Таким образом, мы доказали, что выражение а³ - а делится на 2 и на 3. Следовательно оно разделится на 6
1. x = 2a^2 = 3b^3 Очевидно, что а должно делиться на 3, а b делиться на 2. 2a^2/b^2 = 3b (a/b)^2 = 3b/2 Число 3b/2 должно быть квадратом. Минимальное b = 6 (a/6)^2 = 3*6/2 = 9 = 3^2 a/6 = 3 a = 18 x = 2*a^2 = 2*18^2 = 2*324 = 648 x = 3b^3 = 3*6^3 = 3*216 = 648 Числа совпали, значит, все решено верно. ответ: 648
2. До 2915 он вряд ли доживет, а в 2015 - вычислим. Очевидно, он родился в 20 веке, год рождения 19xy = 1900+10x+y. Будем считать, что он родился НЕ 1 января. 01.01.1989 его день рождения в 1989 году еще не наступил, поэтому ему столько лет, сколько исполнилось в 1988, то есть 88 - 10x - y. И это равно сумме цифр его года рождения 88 - 10x - y = 1 + 9 + x + y 78 = 11x + 2y Числа 78 и 2у четные, значит, 11x тоже четное, x четное. x = 2; y = (78 - 22)/2 = 56/2 = 28 - двузначное, не подходит. x = 4; y = (78 - 44)/2 = 34/2 = 17 - тоже двузначное x = 6; y = (78 - 66)/2 = 12/2 = 6 Его год рождения 1966, а 01.01.2015 ему будет 48 лет.
Если же он родился 1 января, то 01.01.1989 ему будет 89 - 10x - y лет. 89 - 10x - y = 1 + 9 + x + y 79 = 11x + 2y Здесь уже, наоборот, x должно быть нечетным, потому что сумма 79. x = 5; y = (79 - 55)/2 = 24/2 = 12 x = 7; y = (79 - 77)/2 = 2/2 = 1 Он родился 01.01.1971, а 01.01.2015 ему исполнится 44 года.
x²-4x+4-x²+4x>0
0x>-4
Неравенство верно при любом значении х