Question

Найти все значение параметра а, при каких система имеет единственное решение

Answer 1

$\left \{ {{ x^{2} + y^{2} =4} \atop {y= x^{2} +a}} \right. , \left \{ {{ x^{2} +y^{2} =2 ^{2} } \atop {y= x^{2} +a}} \right.$

x²+y²=2² - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R =2

y=x²+a квадратичная функция, график парабола ветви вверх, смещена на а единиц.
чтобы данная система имела только одно решение парабола вершиной должна касаться окружности
такая точка (0;2), => a=2

пусть а=-2, тогда y=x²-2. графическое решение системы (см. рис. 2)
получаем 3 общих точки параболы и окружности, => при а=-2 система имеет 3 решение, что противоречит условию задачи.
ответ: при а=2 система уравнений имеет одно решение

Answer 2

Строгое решение будет таким. Если (х,у)  - какое-нибудь решение системы и при этом x≠0, то (-x,y) - тоже решение. Причем оно не совпадает с первым.  Отсюда, если система имеет единственное решение, то обязательно х=0.
т.е. y=a, a^2=4, т.е. а=2 или а=-2.
1) Если а=2, то y=x²+2, x²+(x²+2)²=4, т.е. x²(x²+5)=0, единственное решение x=0, откуда y=2.
2) Если а=-2, то y=x²-2, x²+(x²-2)²=4, т.е. x²(x²-3)=0, видим, что есть три решения при x=0,  x=-√3, x=√3.
Итак, ответ: а=2.