Question

Решите уравнение 2x^3- x^2 - 2x +1=0

Answer 1

Это уравнение можно решить методом неопределенных коэффициентов:

$2x^3-x^2-2x+1=0$

Составим костяк уравнения. Любое уравнение третьей степени можно разложить на квадратное и линейное уравнение. В нашем случае будет выглядеть вот так:

$(2x^2+ax+b)(x+c)=2x^3+ax^2+bx+cx+acx+bc=\\ =2x^3+(ax^2+cx^2)+(bx+acx)+bc=2x^3+x^2(a+c)+x(b+ac)+bc$

$\left\{\begin{matrix} a & + & c & = & -1\\ b & + & ac & = & -2\\ & & bc&= &1 \end{matrix}\right.$

Методом подбора находим bc:

$\left \{ {{b=-1} \atop {c=-1}} \right.$

Выразим а:

$a=-1-c\\ a=-1+1\\ a=0$

Подставим искомые неизвестные в наше, разложенное уравнение на множители, уравнение:

$(2x^2+x-1)(x-1)=0$

$D=1+8=9; \sqrt{D}=3\\\\ x_{1/2}= \frac{-1\pm3}{4}\\\\ x_1=- \frac{4}{4}=-1\\\\ x_2= \frac{2}{4}= \frac{1}{2}\\\\ x-1=0\\ x_3=1$

ответ: $x_1=-1; \ x_2= \frac{1}{2} ; x_3=1$