Question

0)докажите,что при всяком нечетном значении х числовое значение выражения х^3+3х^2-х-3 делится на 48. разложить на множители: 1)2а^2-а^2(3-2а^2)-3 2)а^2-6ав+9в^2-3а^2+9ав 3)х^2у^2-2ху^2+у^2+х^4-2х^2+1 4)(х+4)^3-(х-4)^3

Answer 1

0) я решил на листочке.

Answer 2

0)
$x^3+3x^2-x-3=x^2(x+3)-(x+3)=\\\\ (x^2-1)(x+3)=(x-1)(x+1)(x+3)$

x - нечетное
представим в виде
x=2n-1 (n∈Z)
тогда

$(2n-1-1)(2n-1+1)(2n-1+3)=(2n-2)\cdot 2n \cdot (2n+2)=\\\\ =2\cdot (n-1)\cdot 2n \cdot 2\cdot (n+1)=\\\\ =8\cdot (n-1)\cdot n \cdot (n+1)$

из трех последовательных целых чисел: (n-1), n, (n+1), - одно обязательно делится на 3, и одно на 2, то есть их произведение делится на 6, а поскольку в общей формуле есть сомножитель 8, то результат делится на $6 \cdot 8=48$.

1)
$2a^2-a^2(3-2a^2)-3=2a^2-3a^2+2a^4-3=2a^4-a^2-3=\\\\ =2(a^2-1.5)(a^2+1)=(2a^2-3)(a^2+1)$

2)
$a^2-6ab+9b^2-3a^2+9ab=(a-3b)^2-3a(a-3b)=\\\\ =(a-3b)(a-3a-3b)$

3)
$x^2y^2-2xy^2+y^2+x^4-2x^2+1=\\\\ =y^2(x^2-2x+1)+(x^2-1)^2=\\\\ =y^2(x-1)^2+(x-1)^2(x+1)^2=\\\\ =(x-1)^2(y^2+(x+1)^2)$

4)
$(x+4)^3-(x-4)^3=\\\\ =(x+4-(x-4))((x+4)^2+(x+4)(x-4)+(x-4)^2)=\\\\ =8\cdot (x^2+8x+16+x^2+4x-4x-16+x^2-8x+16)=\\\\ =8\cdot (3x^2+16)$