Question

Даны два целых числа разных знаков. при делении положительного числа на число, противоположное отрицательному числу в частном получается 4, а в остатке 8. квадрат увеличенной на 20 суммы этих чисел равен сумме квадратов этих чисел. найти эти два числа.

Answer 1

(Даны два целых числа разных знаков.)

 Пусть а<0, b>0.

(При делении положительного числа на число, противоположное отрицательному числу в частном получается 4, а в остатке 8. )

b/(-a)= 4+8/(-a)  или   b=-4a+8 . 

(Квадрат увеличенной на 20 суммы этих чисел равен сумме квадратов этих чисел.)

(a+b+20)²= a²+b²  или  a²+b²+20²+2ab+2·20a+2·20b=a²+b²  ⇔
⇔  20²+2ab+40a+40b=0

b=-4a+8 
20²+2ab+40a+40b=0    ⇔20²+2a(-4a+8)+40a+40(-4a+8)=0 
400-8a²+16a+40a-160a+320=0
-8a²-104a+720=0      ⇔    a²+13a-90=0  1) a=-18 <0
                                                                 2) a=5>0     ⇒
a= -18 <0,  по условию задачи. Тогда b=-4a+8 = 72+8=80. b=80
ПРОВЕРЯЕМ.
Даны два целых числа разных знаков - верно.

При делении положительного числа на число, противоположное отрицательному числу в частном получается 4, а в остатке 8. 
80/(-(-18))=4+8/18  - верно.

Квадрат увеличенной на 20 суммы этих чисел равен сумме квадратов этих чисел. 

(-18+80+20)²=82² =6724,     a   ( -18)²+80²=324+6400=6724. Верно.

ответ:
а=-18, b= 80.