Question

1)какое значение а нужно,чтобы уравнение а²х- 2а²=49х+14а имело один корень? 2)при каком значении а сумма корней уравнения х²-(а²-17а+83)х-21=0 будет наименьшей?

Answer 1

$a^2x- 2a^2=49x+14a \\\ a^2x-49x=2a^2+14a \\\ (a^2-49)x=2a(a+7) \\\ (a-7)(a+7)x=2a(a+7)$
Рассмотрим три случая:
1) При а=7 получим:
$(7-7)\cdot (7+7)\cdot x=2\cdot7\cdot(7+7) \\\ 0\cdot 14\cdot x=14\cdot14 \\\ 0\cdot x=196$
Получившееся уравнение не имеет решений.
2) При а=-7 получим:
$(-7-7)\cdot (-7+7)\cdot x=2\cdot(-7)\cdot(-7+7) \\\ -14\cdot 0\cdot x=-14\cdot0 \\\ 0\cdot x=0$
Получившееся уравнение имеет бесконечное множество корней.
3) Если а≠7 и а≠-7, то разделим левую и правую часть уравнения на (а+7)(а-7)
$\dfrac{(a-7)(a+7)}{(a-7)(a+7)} \cdot x= \dfrac{2a(a+7)}{(a-7)(a+7)} \\\ x= \dfrac{2a}{a-7}$
Именно в этом случае уравнение будет иметь один корень.
ответ: $a\in(-\infty;-7)\cup(-7;7)\cup(7;+\infty)$

$x^2-(a^2-17a+83)x-21=0$
Прежде чем рассматривать сумму корней докажем, что уравнение всегда будет иметь корни. Находим дискриминант:
$D=(a^2-17a+83)^2-4\cdot1\cdot(-21)=(a^2-17a+83)^2+84$
Сумма неотрицательного числа (квадрат) и положительного числа есть число положительное, значит дискриминант положительный и уравнение имеет два корня при любом значении а.
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком:
$x_1+x_2=a^2-17a+83$
Выражение $f(a)=a^2-17a+83$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола ветвями вверх. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине, которую вычислим по формуле:
$a_{min}=-\frac{B}{2A} =-\frac{-17}{2\cdot1} =8.5$
Иначе можно было найти ответ приравняв к нулю первую производную функции:
$(a^2-17a+83)'=0 \\\ 2a-17=0 \\\ a_{min}= \frac{17}{2} =8.5$
ответ: 8,5