Question

Решите уравнение log2(x+4)+2log2(1/2-x)=0

Answer 1

Объяснение:

$\log_2(x+4) +2\log_2(\frac{1}{2} -x)=0;$

Найдем ОДЗ уравнения , решив систему:

$\left \{ \begin{array}{lcl} {{x+40,} \\ {\frac{1}{2} -x0;}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left \{ \begin{array}{lcl} {{x-4,} \\ {x$

$\log_2(x+4) + \log_2 ( \frac{1}{2} -x)^{2} =0;\\\\\log_2(x+4) + \log_2( \frac{1}{4} -x+x^{2} ) =0;\\\\\log_2((x+4)( \frac{1}{4} -x+x^{2}))= \log_21;\\\\\log_2 ( 0,25x -x^{2} +x^{3} +1-4x+4x^{2} ) = \log_21;\\\\ 0,25x -x^{2} +x^{3} +1-4x+4x^{2} =1|*4;\\x-4x^{2} +4x^{3} +4 -16x+16x^{2} -4=0;$

$4x^{3} +12x^{2} -15x=0;\\x( 4x^{2} +12x-15)=0;\\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=0,} \\ {4x^{2} +12x-15=0.}} \end{array} \right.$

Решим квадратное уравнение :

$4x^{2} +12x-15=0;\\D{_1}= 36+60 =960 , \sqrt{D{_1}} =\sqrt{96} =\sqrt{16*6} =4\sqrt{6} ;\\\\\left [ \begin{array}{lcl} {{x=\frac{-6-4\sqrt{6} }{4} ,} \\ \\{x=\frac{-6+4\sqrt{6} }{4}; }} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left [ \begin{array}{lcl} {{x=\frac{-3-2\sqrt{6} }{2} ,} \\ \\{x=\frac{-3+2\sqrt{6} }{2} }.} \end{array} \right.$

Учтем ОДЗ.

$\frac{-3+2\sqrt{6} }{2}$≈ 0,72.

Значит не принадлежит ОДЗ.

ответ : $\frac{-3-2\sqrt{6} }{2}$;0.

Answer 2

$\displaystyle log\, _2(x+4)+2log\, _2\bigg(\frac{1}{2} -x\bigg)=0\quad ,\, x\in\bigg(-4\, ;\, \frac{1}{2} \bigg)\\\\\\log\, _2(x+4)+log\, _2\Bigg(\bigg(\frac{1}{2} -x\bigg)^2\Bigg)=0\\\\\\log\, _2\Bigg((x+4)\times\bigg(\frac{1}{2} -x\bigg)^2\Bigg)=0\\\\\\(x+4)\times\bigg(\frac{1}{2} -x\bigg)^2=1\\\\\\(x+4)\times\bigg(\frac{1}{4} -x+x^2\bigg)=1\\\\\\\ \frac{1}{4} x-x^2+x^3+1-4x+4x^2-1=0\\\\\\x^3+3x^2-3,75x=0\\\\x(x^2+3x-3,75)=0\\\\x^2+3x-3,75=0\quad\quad\quad x_3=0\\\\D=9+15=24=\left(2\sqrt{6}\right)^2$

$\displaystyle x_1=\frac{-3-2\sqrt{6} }{2} \\\\\\x_2=\frac{-3+2\sqrt{6} }{2} \approx0,95\quad\quad , \, 0,95 \notin\bigg(-4\, ;\, \frac{1}{2} \bigg)\\\\\\Otvet:\quad \left[ \begin{array}{ccc} x = \frac{-3-2\sqrt{6}}{2} \\\\ x =0 \\ \end{array}_{.}$