task/29729177 Решить уравнение ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x)
ОДЗ : { sin2x ≠ 0 ; sinx ≠ 0 ; sin4x ≠0 . x ≠ πk/4 , k ∈ ℤ .
ctg(2x) - ctg(x) = 2ctg(4x) ⇔ ctg(2x) - 2ctg(4x) = ctg(x) ⇔
ctg(2x) -(ctg²(2x)-1) /ctg2x =ctg(x) ⇔1/ctg(2x)=ctg(x)⇔2ctgx / (ctg²x -1) =ctgx⇔
|| ctgx ≠ 0 || 2 / (ctg²x -1) = 1 ⇔ 2 = ctg²x - 1 ⇔ ctg²x = 3 ⇔ || ctgx = ±√3 ||
(1+cos2x) / (1-cos2x) = 3 ⇔ 1+cos2x =3 - 3cos2x ⇔ cos2x = 1/2 ⇔
2x = ± π/3 + 2πk , k ∈ ℤ .
ответ: x =± π/6 + πk , k ∈ ℤ
1 уравнение имеет
D/4 = (b/2)^2 - ac = 1009^2 - 1*a = 1009^2 - a
Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.
2 уравнение имеет
D/4 = (b/2)^2 - ac = (a/2)^2 - 2018 = a^2/4 - 2018
Оно будет иметь целые корни, если D/4 будет точным квадратом.
{ 1009^2 - a = n^2
{ a^2/4 - 2018 = m^2
Выделим а
{ a = 1009^2 - n^2 = (1009 - n)(1009 + n)
{ a^2/4 - m^2 = (a/2 - m)(a/2 + m) = 2018
Из 2 уравнения разложим 2018 на множители
2018 = 1*2018 = 2*1009 (1009 - простое число).
1)
{ a/2 - m = 1
{ a/2 + m = 2018
Складываем уравнения
a = 2018 + 1 = 2019
Проверяем 1 уравнение
x^2 + 2018x + 2019 = 0
D/4 = 1009^2 - 2019 = 1018081 - 2019 = 1016062 - не квадрат, не подходит.
2)
{ a/2 - m = 2
{ a/2 + m = 1009
Складываем уравнения
a = 1009 + 2 = 1011
Проверяем 1 уравнение
x^2 + 2018x + 1011 = 0
D/4 = 1009^2 - 1011 = 1018081 - 1011 = 1017070 - это тоже не квадрат.
Получается, что ни при каком а оба эти уравнения не будут иметь одновременно целые корни.
f'(x) = -2x + b
f'(x) = 0
-2x + b = 0
x = b/2 -- точка экстремума. Для параболы с ветвями вниз это будет точно точка максимума.
f(b/2) = -(b/2)² + b·b/2 + c
-(b/2)² + b·b/2 + c = 7
-b²/4 + b²/2 + c = 7
c = 7 - b²/4
С другой стороны:
с = 0,75b
7 - b²/4 = 3/4 · b
b² + 3b - 28 = 0
По теореме Виета: b₁ = -7, b₂ = 4.
Положительное значение b: b = 4.