Question

Как это решать? постройте график функции y=x^2-|4x+3| и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно три общие точки

Answer 1

$y=x^2-|4x+3|$

$\left\{\begin{matrix} x^2 &- &(4x+3), &4x+3 &\geqslant&0 \\ x^2 &- &(-4x-3), &4x+3 &\ \textless \ &0 \end{matrix}\right.\\\\\\ \left\{\begin{matrix} x^2 &- &4x &- &3, &x &\geqslant &-\frac{3}{4} \\ \\ x^2 &+ &4x &+ &3, &x &\ \textless \ & -\frac{3}{4} \end{matrix}\right.$

$x^2-4x-3=0\\ D=16+12=28; \ \sqrt{D}=2\sqrt{7}\\\\ x_{1/2}=\frac{4\pm2\sqrt{7}}{2}= \frac{2(2\pm\sqrt{7})}{2}=2\pm\sqrt7\\\\ x_1=2-\sqrt7\\ x_2=2+\sqrt{7}\\\\ x_0=\frac{4}{2}=2\\\\ y_0= 2^2-4\cdot2-3=-7$

$x^2+4x+3=0\\ D=16-12=4; \ \sqrt{D}=2\\\\ x_{1/2}= \frac{-4\pm2}{2}\\\\ x_1=-4\\ x_2=-1\\\\ x_0=- \frac{4}{2}=-2\\\\ y_0=(-2)^2+4\cdot(-2)+3=-1$

Очевидно, что y=m имеет с графиком три общие точки при y=-1
Чтобы найти второе значение m, необходимо $- \frac{3}{4}$ подставить  в одно из уравнений, тогда:

$(- \frac{3}{4})^2+4\cdot(- \frac{3}{4})-3=\frac{9}{16}+3-3=\frac{9}{16}$

ответ: $y=-1; \ y=\frac{9}{16}$