Question

Два числа 1) 2 и 3, 2) 2 и одна третья.составьте несколько квадратных трехчленов,имеющих своими корнями эти числа

Answer 1

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ - формула для разложения на множители квадратного трёхчлена. Применим её наоборот, соберём трёхчлен из множителей, ведь нам известны корни уравнения:
$a(x-x_1)(x-x_2)=ax^2+bx+c$.
 $1)x_1=2;x_2=3.\\ a(x-2)(x-3)=ax^2+bx+c;\\ a(x^2-3x-2x+6)=ax^2+bx+c;\\ a(x^2-5x+6)=ax^2+bx+c;$
далее, подставляя вместо а любые вещественные числа, кроме нуля, можем получить сколько угодно квадратных трёхчленов, корнями которых будут числа 2 и 3. Например, для а=1, а=√2 и а=0,1 соответственно получим такие квадратные трёхчлены:
$a(x^2-5x+6)=x^2-5x+6;\\ a(x^2-5x+6)= \sqrt{2} x^2-5 \sqrt{2}x+6 \sqrt{2};\\ a(x^2-5x+6)=0,1x^2-0,5x+0,6.$
$2)x_1=2;x_2= \frac{1}{3} .\\ a(x-2)(x- \frac{1}{3} )=ax^2+bx+c;\\ a(x^2- \frac{1}{3}x -2x+ \frac{2}{3} )=ax^2+bx+c;\\ a(x^2- \frac{7}{3}x+ \frac{2}{3} )=ax^2+bx+c;\\$
для этого случая возьмём, например, такие значения а: $a=3; a=-3;a=1:\\ 3(x^2- \frac{7}{3}x+ \frac{2}{3} )=3x^2-7x+2;\\ -3(x^2- \frac{7}{3}x+ \frac{2}{3} )=-3x^2+7x-2;\\ 1(x^2- \frac{7}{3}x+ \frac{2}{3} )=x^2- \frac{7}{3}x+ \frac{2}{3}.$