Question

Докажите неравенство ( a+b )(1/a +1/b ) ≥ 4, если ab> 0

Answer 1

Скорее всего в условии опечатка, условие a > 0, b > 0.

Для a > 0, b > 0 используем неравенство Коши

$a+b\geq 2\sqrt{ab}\\ \\ \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq 2\sqrt{\dfrac{1}{ab}}$

Умножив эти два неравенства , мы получим

$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\geq 2\sqrt{ab}\cdot 2\cdot \sqrt{\dfrac{1}{ab}}=4$

Если же в условии ab > 0, то доказательство такое

$(a+b)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=(a+b)\cdot \dfrac{a+b}{ab}\geq 4\\ \\a^2+b^2+2ab\geq 4ab\\ \\ a^2+b^2\geq 2ab\\ \\ (a-b)^2\geq 0$