Question

Чему равна сумма: 1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)+⋯+1/(2013*2015)

Answer 1

Заметим, что каждая дробь представима в виде: 

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} )$

Тогда заменим дроби соответсвующими суммами:

$\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{3\cdot 5} + \frac{1}{5\cdot 7} +...+ \frac{1}{2011\cdot 2013} + \frac{1}{2013\cdot 2015} =\\\\=\frac{1}{2}\cdot ( (\frac{1}{1} - \frac{1}{3} )+ (\frac{1}{3} - \frac{1}{5} )+( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} )+...+( \frac{1}{2011} - \frac{1}{2013} )+$

$+( \frac{1}{2013} - \frac{1}{2015} ))=\frac{1}{2}\cdot (1-\frac{1}{2015})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2014}{2015}= \frac{1007}{2015}$