Question

Исследовать функцию и построить ее график

Answer 1

$y=-x^3+x$

1.
 $D(f)=\mathbb R$ - нет вертикальных асимптот

$f(-x)=-(-x)^3+(-x)=x^3-x=-(-x^3+x) \Longrightarrow \\\\ f(-x)=-f(x)$
функция нечетная

2.
$k=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-x^3+x}{x}=\\\\=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{-x^3}{x}+\frac{x}{x}=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^2+1)=-\infty$
наклонных асимптот нет

$k=\lim_{x\rightarrow\pm\infty}(-x^3+x)=\mp \infty$
идем влево - график уходит далеко вверх
идем вправо - график уходит далеко вниз

$E(f)=\mathbb R$
любое число

3.
$y=f(0)=0^3+0=0\\\\ -x^3+x=0\\ -x(x^2-1)=0\\ x=0\\\\ x^2-1=0\\ x^2=1\\ x=\pm1$

Точки пересечения с осью ОХ

4.
$f(x)=-x^3+x\\ f'(x)=(-x^3+x)'=-3x^2+1\\\\ -3x^2+1=0\\ 3x^2=1\\ x^2=\pm \frac{1}{3}\\\\ x_{1/2}=\pm \sqrt{ \frac{1}{3} }$

__-__$- \sqrt{\frac{1}{3}}$__+__$\sqrt{ \frac{1}{3}}$__-__

$(-\infty; - \sqrt{ \frac{1}{3}})\bigcup( \sqrt{ \frac{1}{3}};\infty)$ убывает

$(-\sqrt{ \frac{1}{3}};\sqrt{ \frac{1}{3}})$ возрастает

$f(-\sqrt{ \frac{1}{3}})=-(-\sqrt{ \frac{1}{3}})^3-\sqrt{ \frac{1}{3}}=- \frac{2}{3\sqrt3}= -\frac{2\sqrt3}{9} \approx-0,4\\\\ f(\sqrt{ \frac{1}{3}})=-(\sqrt{ \frac{1}{3}})^3+\sqrt{ \frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt3}{9} \approx0,4$

$f(-\sqrt{ \frac{1}{3}})$ - точка минимума

$f(\sqrt{ \frac{1}{3}})$ - точка максимума

5.
$f''(x)=(-x^3+x)''=-6x\\\\-6x=0\\x=0$

__+__0__-__

$(-\infty;0)$ вогнутая

$(0;+\infty)$ выпуклая

$f(0)=0$ - точка перегиба

7.
Дополнительные точки

x | 2 | -2 |
y |-6 |  6 |

График прилагается