Question

Интеграл sin^3x*sqrt(cosx) dx ? подробнее

Answer 1

$\int sin^3 x \sqrt{cos x} dx=$
замена
$cos x=t; d(cosx)=-sin x dx=dt;$

$sin^3 x dx=-sin^2 x*(-sin x dx)=$
$-(1-cos^2 x)*(-sin x dx)=\\\\-(1-t^2)*dt=(t^2-1)dt$
Получим
$\int (t^2-1) \sqrt{t} dt=\int (t^2-1)*t^{\frac{1}{2}} dt=\int t^{\frac{5}{2}}-t^{\frac{1}{2}}dt$
интеграл разности = разности интегралов и формула интеграл от степенной функции $\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

$\frac{t^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}-\frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=$
$\frac{2}{7} (cos x)^{\frac{7}{2}}-\frac{2}{3}(cos x)^{\frac{3}{2}}+C=$
$\frac{2}{7} cos^3x \sqrt{cos x}-\frac{2}{3}cos x\sqrt{x}+C$