Question

Объясните, как решается такого типа: значение выражения cos(7п/3) + tg(13п/4) равно:

Answer 1

Минус корень из 3 деленный на2 +1=(2-корень из 3)/2

Answer 2

Смотри.. Для начала просто рассмотрим выражение cos(7pi/3). Нам нужно расписать угол 7pi/3 так, чтобы просто свети его к табличному значению тригонометрической функции (sin,cos,tg,ctg). В этом нам формулы приведения (надеюсь знаешь их). Рассмотрим это выражение. 7pi можно расписать как 6pi + pi, так ведь? Это слагаемые подобны, поэтому 6pi+pi=7pi (6pi+pi=pi(6+1)=7pi). Имеем: cos(7pi/3)=cos(6pi+pi/3). Разрываем дробь. cos(6pi+pi/3)=cos(6pi/3+pi/3)=cos(2pi+pi/3). То есть нам числитель (обычно какое-то число умноженное на пи), чтобы число возле пи делилось нацело на знаменатель. Например 8/3=6+2/3=6/3+2/3=2+2/3=2 целых 2/3. Или например 7/4=8-1/4=8/4-1/4=4-1/4. Так же поступаем и с числом пи. То есть нужно видеть, как можно расписать числитель, чтобы он хорошо делился на знаменатель. Также желательно после деления получать парное число, то есть период. 2n*pi, где n - натуральное число, является повторением круга через один оборот. То есть если у нас есть точка А на окружности, то прокутив радиус на 2pi (на 360°) мы попадём в туже точку.
Вернёмся к выражению. cos(7pi/4)=cos(2pi+pi/3). Далее мы смотрим на формулу приведения. Видим, что cos(2pi+a)=cosa. То есть после деления у нас почти всегда остаётся период и вторым слагаемым угол. Получаем: cos(2pi+pi/3)=cospi/3=cos60°=1/2 (по таблице значения косинусов). Но иногда может попасться такое выражение: например, sin(22pi/3). Работаем с ним. sin(22pi/3)=sin(21pi-pi/3)=sin(7pi-pi/3). Видим, что тут число возле пи непарное, то есть не является периодом повторения функции. Но, опять же, мы можем расписать 7pi как 6pi+pi. В вот 6pi это уже период. Имеем: sin(22pi/3)=sin(7pi-pi/3)=sin(6pi+pi-pi/3). Период уходит (так как это угол +6pi будет таким же). Отсюда sin(6pi+pi-pi/3)=sin(pi-pi/3). По формуле приведения получим sin(pi-pi/3)=sinpi/3=sin60°=sqrt{2}/2. (sqrt - корень из двух). Так же мы могли бы записать как sin(pi-pi/3)=sin(180°-60°)=120°. Откуда тогда 60°? А оттуда, что нарисовав единичную окружность мы увидим, что угол 120° такой же самый, что и угол 60°, только с другой стороны. Но так как это первая и вторая четверть, а синус в этих четвертях положительный, углы одинаковы.
Вернёмся, опять же, к нашему выражению. Думаю суть ясна и я могу уже просто записать ответ: cos(7pi/3)+tg(13pi/4)=cos(2pi+pi/3)+tg(12pi+pi/4)=cos60°+tg(3pi+pi/4)=1/2+tg(2pi+pi+pi/4)=1/2+tg(pi+pi/4)=1/2+tg pi/4=1/2+tg45°=1/2+1=1,5.
Кстати, для тангенса и котангенса период повторения того самого угла просто pi, так что можно было сразу записать tg(3pi+pi/4)=tg pi/4. Так как тангенс и котангенс положительны в первой и в третьей четверти, значит их угла в первой и третей, второй и четвёртой - одинаковы (симметричны с повторением в пол круга).
При решении использовались понятия тригонометрических функций, а также формулы приведения углов.