Решите уравнение (cos3xcos5x+|sin3xsin5x|) / sin2x=2cos2x. найдите сумму s его решений на промежутке [0,2π). представьте ее в виде s=πq, где q∈q. число q к несократимому виду, и запишите в ответ сумму числителя и знаменателя числа q.
1) если sin3xsin5x≥0, то |sin3xsin5x|= sin3xsin5x и уравнение принимает вид: (cos3xcos5x+sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x. Формула cos3xcos5x+sin3xsin5x=cos(3x-5x)=cos(-2x) cos(-2x)=cos2x в силу четности косинуса. Уравнение принимает вид cos2x/sin2x=2cos2x или (cos2x/sin2x)-2 cos2x=0 cos2x(1/sin2x - 2)=0 cos2x(1-2sin2x)/sin2x=0 cos2x=0 или 1-2sin2x=0 sin2x≠0 2x=(π/2)+πk, k∈Z или sin2x=1/2 2x=(π/6)+2πn, n∈Z ; 2x=(5π/6)+2πm, m∈Z
x=(π/4)+(π/2)k, k∈Z; x=(π/12)+πn, n∈Z ; x=(5π/12)+πm, m∈Z. Так как sin3xsin5x≥0, то это означает, что угол х в первой или третьей четверти ответ.(π/4)+πk;(π/12)+πn; (5π/12)+πm; k, n, m∈Z. Промежутку [0;2π) принадлежат корни π/12; π/4; 5π/12; 13π/12; 5π/4; 17π/12. Сумма этих корней равна 54π/12.
2)если sin3xsin5x<0, то |sin3xsin5x|=- sin3xsin5x и уравнение принимает вид: (cos3xcos5x-sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x. Формула cos3xcos5x-sin3xsin5x=cos(3x+5x)=cos(8x) Уравнение принимает вид cos8x/sin2x=2cos2x или cos8x=2 cos2xsin2x; sin2x≠0.
cos8x=sin4x; 1-2sin²4x=sin4x; 2sin²4x+sin4x-1=0; D=1-4·2·(-1)=9 sin4x=-1 или sin4x=1/2 4x=(π/2)+2πk,k∈Z или 4х=(π/6)+2πn, n∈Z; 4x=(5π/6)+2πn, n∈Z;
x=(π/8)+(π/2)k,k∈Z или х=(π/24)+(π/2)n, n∈Z; x=(5π/24)+(π/2)n, n∈Z.
sin3xsin5x<0, то угол х во второй или четвертой четверти
x=(5π/8)+πk,k∈Z или х=(13π/24)+πn, n∈Z; x=(17π/24)+πn, n∈Z.
Промежутку [0;2π) принадлежат корни 13π/24;5π/8;17π/24;37π/24;39π/24;41π/24. Сумма корней 162π/24. Сумма 1) и 2) (54π/24)+(162π/24)=216π/24=36π/4=9π g=9 О т в е т. 9+1=10
Наша функция содержит знак модуля. Следовательно, необходимо рассмотреть две ситуации: 1) если х >0. тогда функция примет вид у= -х^2 +3. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, вершина параболы имеет координаты (0,3), т.е парабола поднята на 3 масштабных единицы вверх. Точки пересечения параболы с осью ОХ имеет координаты (-V3:0) и (+V3;0) Знак V -корень квадратный. 2) Если х<0, функция принимает вид у=x^2 +3. Графиком также является парабола, но ее ветви направлены вверх, вершина параболы имеет координаты (3,0), т.е график подвинулся вверх по оси ОУ. значит точек пересечения параболы с осью ОХ нет.
Обозначим время работы мастера за х часов, а ученика за y часов. Вся работа заняла 8 часов. Имеем первое уравнение: х+y=8. За час мастер делал 120/х деталей, а ученик 40/y деталей. Производительность мастера выше производительности ученика на 20 деталей в час. Имеем второе уравнение: 120/х - 40/y = 20 Получилась система уравнений: х+y=8 120/х-40/y=20. Выразив х через y в первом уравнении х=8-y и подставив это значение во второе уравнение, найдем, что y=4, т.е время работы ученика 4 часа. Время мастера тоже равно (8-4) 4 часа. За час мастер делал 120/4=30 деталей, а ученик 40/4=10 деталей.
(cos3xcos5x+sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x.
Формула
cos3xcos5x+sin3xsin5x=cos(3x-5x)=cos(-2x)
cos(-2x)=cos2x в силу четности косинуса.
Уравнение принимает вид
cos2x/sin2x=2cos2x
или
(cos2x/sin2x)-2 cos2x=0
cos2x(1/sin2x - 2)=0
cos2x(1-2sin2x)/sin2x=0
cos2x=0 или 1-2sin2x=0
sin2x≠0
2x=(π/2)+πk, k∈Z или sin2x=1/2
2x=(π/6)+2πn, n∈Z ; 2x=(5π/6)+2πm, m∈Z
x=(π/4)+(π/2)k, k∈Z;
x=(π/12)+πn, n∈Z ; x=(5π/12)+πm, m∈Z.
Так как sin3xsin5x≥0, то это означает, что угол х в первой или третьей четверти
ответ.(π/4)+πk;(π/12)+πn; (5π/12)+πm; k, n, m∈Z.
Промежутку [0;2π) принадлежат корни
π/12; π/4; 5π/12; 13π/12; 5π/4; 17π/12.
Сумма этих корней равна 54π/12.
2)если sin3xsin5x<0, то |sin3xsin5x|=- sin3xsin5x и уравнение принимает вид:
(cos3xcos5x-sin3xsin5x) / sin2x=2cos2x.
Формула
cos3xcos5x-sin3xsin5x=cos(3x+5x)=cos(8x)
Уравнение принимает вид
cos8x/sin2x=2cos2x
или
cos8x=2 cos2xsin2x;
sin2x≠0.
cos8x=sin4x;
1-2sin²4x=sin4x;
2sin²4x+sin4x-1=0;
D=1-4·2·(-1)=9
sin4x=-1 или sin4x=1/2
4x=(π/2)+2πk,k∈Z или
4х=(π/6)+2πn, n∈Z; 4x=(5π/6)+2πn, n∈Z;
x=(π/8)+(π/2)k,k∈Z или
х=(π/24)+(π/2)n, n∈Z; x=(5π/24)+(π/2)n, n∈Z.
sin3xsin5x<0, то угол х во второй или четвертой четверти
x=(5π/8)+πk,k∈Z или
х=(13π/24)+πn, n∈Z; x=(17π/24)+πn, n∈Z.
Промежутку [0;2π) принадлежат корни
13π/24;5π/8;17π/24;37π/24;39π/24;41π/24.
Сумма корней
162π/24.
Сумма 1) и 2) (54π/24)+(162π/24)=216π/24=36π/4=9π
g=9
О т в е т. 9+1=10