Question

Исследуйте функцию и постройте график у=6х⁵+15х⁴+10х³ . .

Answer 1

 y=6x⁵+15x⁴+10x³

1)  Область определения: х∈(-∞,+∞) .

2)  Множество значений: у∈(-∞,+∞) .

3)  Эта кривая не имеет асимптот, так как

$\lim\limits _{x \to \infty}\, (6x^5+15x^4+10x^3)=\infty$ .

Нет точек разрыва.

4)  Точка пересечения с осью ОУ (при х=0) одна - это (0,0).

5)  Точка пересечения с осью ОХ тоже одна - (0,0) , так как

$6x^5+15x^4+10x^3=0\; \; ,\; \; x^3\cdot (6x^2+15x+10)=0\; \; \Rightarrow \\\\x^3=0\; \; \to \; \; x=0\; ,\; \; y(0)=0\\\\6x^2+15x+10=0\; \; \to \; \; D<0\; \; \to \; \; kornej\; net\; .$

6)  Интервалы монотонности и точки экстремума функции:

$y'=6\cdot (x^5)'+15\cdot (x^4)'+10\cdot (x^3)'=6\cdot 5x^4+15\cdot 4x^3+10\cdot 3x^2=\\\\=30x^4+60x^3+30x^2=30x^2\cdot (x^2+2x+1)=30\cdot x^2\cdot (x+1)^2=0\; \; \to \\\\a)\; \; x^2=0\; \; \to \; \; x=0\\\\b)\; \; (x+1)^2=0\; \; \to \; \; x+1=0\; ,\; \; x=-1$

Подсчитаем знаки производной  y'  на полученных интервалах:

$+++[-1\, ]+++[\, 0\, ]+++$

При переходе через точки х=0 и х= -1 производная не меняет знак, значит точки х=0 и х= -1 не являются точками экстремума. А на промежутках, где производная всюду положительна, сама функция возрастает.

Интервалы возрастания функции:  x∈(-∞,-1 ]∪[-1,0 ]∪[0,+∞) .

7) Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба функции:

$y''=(y')'=30\cdot \Big ((x^2)'\cdot (x+1)^2+x^2\cdot ((x+1)^2)'\Big )=\\\\=30\cdot \Big (2x\cdot (x+1)^2+x^2\cdot 2(x+1)\Big )=30\cdot 2x\cdot (x+1)\cdot (x+1+x)=\\\\=60\cdot x\cdot (x+1)\cdot (2x+1)=0\\\\a)\; \; x_1=0\; ,\\\\b)\; \; x+1=0\; \; \to \; \; x=-1\; ,\\\\c)\; \; 2x+1=0\; \; \to \; \; x=-0,5\; .$

Определим знаки второй производной y'' на интервалах:

$---[-1\, ]+++[-0,5\, ]---[\, 0\, ]+++$

На промежутках, где y''<0, функция y(x) выпукла, а там, где y''>0, функция вогнута. Точки перегиба - те точки, при переходе через которые у'' меняет знак,это х= -1 , х= -0,5 , х=0 .

8)  Для более точного построения графика найдём координаты некоторых промежуточных точек:  (-1,-1)  ,  (-0,5 ; -0,5) .

График на рисунке.